Вычисление интегралов в Excel

Метод Симпсона.При стремлении понять нечто сложное, громоздкое, непонятное следует «разбить» его на максимально большее количество обычных, маленьких, понятных частей, изучить их при помощи имеющихся инструментов, а потом «сложить» эти результаты и получить итоговый ответ.

Формулировка в прошлом предложении описывает суть понятия интегрирования.

Интеграл чего-либо – это сумма всех малых частей этого чего-либо. Чем больше количество этих малых частей, тем поточнее значение интеграла соответствует реальности, определяя признак изучаемого объекта.

Интегрирование применимо для исследования параметров физических и философских объектов при условии, что эти характеристики остаются постоянными как для «маленькой» части, так и для всего объекта в целом.

Функция – это описание зависимости некого признака либо характеристики объекта от аргумента.

Объект – плоская фигура меж графиком функции и осью абсцисс.

Признак (значение функции) – высота фигуры.

Аргумент (независящая переменная) – ширина фигуры.

Функция – описание зависимости высоты от ширины.

Определенный интеграл функции – площадь фигуры. Площадь тоже является признаком фигуры, но зависит от 2-ух переменных – высоты и ширины – и представляет собой отменно другой новейший признак.

Теория.

Тщательно разглядим два более четких способа численного интегрирования функции одной переменной – способ трапеций и способ парабол либо способ Симпсона. Еще есть способ прямоугольников, но мы его проигнорируем из-за низкой точности.

Все, что требуется для осознания и внедрения способа трапеций и способа Симпсона на практике представлено дальше на рисунке.

Методы численного интегрирования: метод трапеций и метод Симпсона.

Площадь под кривой y = f ( x ) разбиваем на n-1 криволинейных трапеций, у каких три стороны – это прямые полосы, а одна сторона – участок кривой y =f ( x ). Суммарная площадь под графиком функции на участке от x1 до xn – это и есть разыскиваемая величина, которая является определенным интегралом функции на этом участке и находится как сумма площадей всех криволинейных трапеций.

Буквально вычислить аналитически площадь криволинейной трапеции бывает трудно либо даже нереально.

Для приближенного вычисления площади криволинейной трапеции можно поменять участок кривой прямой линией и, получив ординарную фигуру – обыденную трапецию, отыскать по известной формуле ее площадь. В этом сущность способа трапеций.

Если участок кривой полосы над 2-мя криволинейными трапециями поменять параболой, проведенной через три соответствующие точки, то получим новейшую криволинейную трапецию с одной из сторон в виде параболы. Количество новейших фигур будет в дважды меньше, чем количество начальных трапеций. Площадь этих новейших фигур рассчитывается по обычной формуле. В этом смысл способа Симпсона.

Идею подмены участка хоть какой кривой участком параболы высказывал Исаак Ньютон, но первым вывел формулу британский математик Томас Симпсон. Способ Симпсона для вычисления интегралов является самым четким из приближенных численных способов.

Если вычисление интегралов способом трапеций не имеет ограничений, то для того, чтоб воплотить способ Симпсона нужно выполнить два условия.

1. Разбить площадь на четное количество частей, другими словами n обязано быть нечетным числом!

2. Расстояния меж точками по оси x должны быть схожими!

Практика вычисления интегралов в Excel.

Определенной сложностью является связать вычисление интегралов с настоящими задачками из жизни. Рассмотрение примеров – наилучший метод устранения схожих препятствий.

Определение термический энергии.

Мой знакомый из городка Улан-Удэ Алексей Пыкин проводит тесты воздушных солнечных PCM-коллекторов производства КНР (Китайская Народная Республика — государство в Восточной Азии. Крупнейшее по численности населения государство мира). Воздух из помещения подается вентилятором в коллекторы, греется от солнца и поступает вспять в помещение. Каждую минутку измеряется и записывается температура воздуха на входе в коллекторы и на выходе при неизменном воздушном потоке. Требуется найти количество термический энергии приобретенной в течение суток.

Наиболее тщательно о преобразовании солнечной энергии в термическую и электронную и о опытах Алексея я постараюсь поведать в отдельной статье. Смотрите за анонсами, почти всем, я думаю, это будет любопытно.

Запускаем MS Excel и начинаем работу – исполняем вычисление интеграла.

Интересно почитать:  В excel формула вычитание

1. В столбец B вписываем время проведения измерения τi .

2. В столбец C заносим температуры нагретого воздуха t2i , измеренные на выходе из коллекторов в градусах Цельсия.

3. В столбец D записываем температуры прохладного воздуха t1i , поступающего на вход коллекторов.

Вычисление интегралов -1-24s

4. В столбце E вычисляем разности температур dti на выходе и входе

5. Зная удельную теплоемкость воздуха c =1005 Дж/(кг*К) и его неизменный массовый расход (измеренная производительность вентилятора) G =0,02031 кг/с, определяем мощность установки Ni в КВт в любой из моментов времени в столбце F

Ni = c * G * dti

На графике ниже показана экспериментальная кривая зависимости мощности, развиваемой коллекторами, от времени.

График тепловой мощности -24s

Количество термический энергии, выработанной за просвет времени – это интеграл данной для нас функции, и значение интеграла – это заштрихованная площадь под кривой.

6. Вычисляем в ячейках столбца G площади трапеций, суммируем их и находим полное количество энергии, выработанной за денек

Q =Σ Qi =10,395 КВт*час

7. Рассчитываем в ячейках столбца H простые площади по способу парабол, суммируем их и находим полное количество энергии по способу Симпсона

Q =Σ Qj =10,395 КВт*час

Как лицезреем, значения не различаются друг от друга. Оба способа показывают схожие результаты!

Начальная таблица содержит 421 строчку. Давайте уменьшим её в 30 раз и оставим всего 15 строк, увеличив тем интервалы меж замерами с 1 минутки до 30 минут.

Вычисление интегралов -2-24s

По способу трапеций: Q =10,220 КВт*час (-1,684%)

По способу Симпсона: Q =10,309 КВт*час (-0,827%)

Не глядя на оставшуюся нежданно очень высшую точность приобретенных результатов, способ трапеций дает в данном случае относительную ошибку в 2 раза огромную, чем способ Симпсона.

Общие выводы.

Вычисление интегралов численными способами в Excel дозволяет отлично и стремительно решать сложные практические задачки, обеспечивая весьма высшую точность результатов.

Потому что мы существуем в пространстве и времени, то и всё окружающее нас меняется либо в пространстве либо во времени. Это значит, что аргументом x функций y интересующих нас действий либо объектов почаще всего являются длина либо время. К примеру, пройденный путь – это интеграл функции скорости (аргумент – время), площадь плотины – это интеграл функции высоты (аргумент – длина), и т.д.

Осознание сущности интегрального исчисления и умение применять его на практике вооружает вас, как спеца, массивным орудием в осознанном исследовании мира вокруг нас!

Отзывы и комменты к статье, почетаемые читатели, пишите в блоке, расположенном ниже статьи.

Чтоб получать информацию о выходе новейших статей на блоге подпишитесь на новости в окне, расположенном вверху странички либо сходу опосля статьи. Введите адресок собственной электрической почты, нажмите на клавишу «Получать новости статей» и подтвердите подписку кликом по ссылке в письме, которое придет к для вас на обозначенную почту. Отныне к для вас на почтовый ящик будет несколько раз в месяц приходить маленькое извещение о возникновении на моем блоге новейшей статьи.

Прошу УВАЖАЮЩИХ труд создателя скачать файл ПОСЛЕ ПОДПИСКИ на новости статей.

Ссылка на скачка файла с примером: vychisleniye-integralov (xls 216,0KB).

NVP (ЧДД, НВП): примеры пошагового расчета в Excel

Получение прибыли – основная цель всех инвестиций. Рентабельность проекта до вложения средств оценивают при помощи расчета незапятнанного приведенного дохода. Этот показатель нужен для определения прибыльности либо убыточности проекта. Вычислить его нетрудно, но почти все инвесторы нередко запамятывают о побочных факторах, снижающих прибыль от проекта.

Разглядим, как рассчитывается незапятнанный приведенный доход и какие причины на него влияют.

Разобраться в этом нам поможет наш эксперт.

Что такое NPV

Незапятнанный дисконтированный доход (Net Present Value, сокращенно NPV, ЧДД) указывает разницу меж вложенным инвестициями и возвратимыми валютными потоками. Его также именуют незапятанной дисконтированной стоимостью (ЧДС). Говоря ординарными словами, это итоговая незапятнанная прибыль опосля окончания проекта.

Интересно почитать:  Знак не равно в excel в формуле

Для что употребляется и для чего нужен

ЧДС указывает уровень дохода, которую получат участники вкладывательного проекта опосля производства и реализации продукции, уплаты налогов, погашения кредитов и долгов перед поставщиками. В эталоне рассчитывают показатель NPV на шаге составления бизнес-плана.

Формула расчета NPV

Почаще всего употребляют эту формулу незапятнанного дисконтированного дохода:

  • IC – сумма начальных инвестиций.
  • N – число периодов для расчета. Обычно берется в годах, но быть может обозначено в месяцах либо кварталах.
  • t – номер года, для которого рассчитывается ЧПД.
  • i – ставка дисконтирования.
  • CFt – ожидаемый валютный поток за обозначенный просвет времени.

Учет инфляции при расчете

Инфляция постоянно влияет на финансирование проектов. Чем выше ее уровень, тем ниже предполагаемая незапятнанная приведенная стоимость NPV. Для того, чтоб показать воздействие инфляции на ЧДД, дисконт изменяют на предсказуемый уровень инфляции. Процентная ставка будет рассчитываться последующим образом:

  • R – итоговая дисконтная ставка с учетом инфляции.
  • r – показатель дисконта;
  • K – уровень инфляции.

Пример

Инвестор желает вложить средства в проект по реконструкции завода электроники. На модернизацию сборочного цеха издержки составят 90 тыщ р. При всем этом бизнесмен обещает повышение размеров производства компонент и рост продаж в течение 4 лет. За 1-ый год приток средств составит 70 тыщ, потом 65, 60 и 55 тыщ.

Период (t), год Валютный поток (CF) Дисконт (r) Незапятнанная приведенная стоимость (CFt)
–90000 10% –90000
1 70000 10% 62546
2 65000 10% 56840
3 60000 10% 52450
4 55000 10% 46720
Незапятнанная приведенная стоимость NPV 110000

Если представить, что показатель инфляции в протяжении всех 4 лет составит 7%, предполагаемая прибыль уменьшится:

Период (t), год Валютный поток (CF) Дисконт (r) Уровень
инфляции, (К)
Незапятнанная приведенная стоимость (CFt) c учетом инфляции
–90000 10% 7% –90000
1 70000 10% 7% 59450
2 65000 10% 7% 53890
3 60000 10% 7% 47600
4 55000 10% 7% 39700
Незапятнанный дисконтированный доход NPV 98166,98

Пошагово – расчет NPV вкладывательного проекта

  1. Бизнесмен направляет инвестору бизнес-план с расчетами денежных и вкладывательных характеристик.
  2. Инвестор инспектирует приобретенные данные, и рассчитывает NPV по обычной формуле.
  3. Если ЧПД положительное, т. е. больше нуля, проект считается прибыльным, и в него можно инвестировать средства. При отрицательном либо равном нулю показателе бизнес-план отклоняют.

К бизнес-плану больше доверия, если считать ЧДД не нужно, т. е. он уже указан. Но инвестор либо подотчетные ему спецы всё равно будут пересчитывать этот показатель без помощи других. Нередко повторно инспектируют предполагаемые доходы от проекта, итоговую стоимость продукцию (услуг).

Расчет NPV в Гугл Таблицы (Sheets)

Существует много программ для определения ЧПД. Полностью безвозмездно высчитать значение незапятнанного дисконтированного дохода можно в Гугл Таблицах. Интерфейс веб-приложения идентичен с MS Excel.

По ссылке уже представлен расчет ЧПД в качестве примера. Документ можно загрузить на собственный комп, кликнув на меню «Файл», а потом выбрав пункт «Скачать».

В представленной таблице обозначено 5 периодов, валютные потоки от проекта и ставка. Формула NPV применяется к значениям с 1 по 4 период. Отрицательное значение за нулевой период прибавляется к результатам расчетов для получения четкого значения ЧПД.

Расчет NPV в Microsoft Excel

В программке Excel уже предусмотрена формула для вычисления NPV. Эта функция именуется ЧПС. При расчете NPV в Excel ставка дисконтирования автоматом переводится в единицы. Юзер может указывать ее в процентах. Формулу расчета можно отыскать в функциях.

excel

В показавшемся окне с аргументами функции вчеркните номер ячейки со ставкой. В значении 1 укажите интервал от первого до 4-ого периода.

excel

Для четкого расчета ЧТС прибавьте сумму за нулевой период к результатам вычисления.

excel

Скачать таблицу для расчета NPV

По ссылке можно скачать файл с примером расчета NPV.

Там необходимо поменять числа за периоды и ставку дисконтирования. Если количество периодов различается от обозначенных в примере, подкорректируете формулу, вручную дописав номера новейших ячеек.

Интересно почитать:  Диапазон в формуле в excel

excel

Трудности

NPV расчет осуществляется по математической формуле с данными переменными. Зная величину валютного потока со стоимостью капитала можно стремительно найти незапятнанный дисконтированный доход. Неувязка заключается в том, что эти характеристики с течением времени меняются. Потому на 1-ый взор выгодный проект может стать провальным.

К примеру, на обновление авто парка ушло 600 тыщ рублей. Валютный поток заместо планируемых 450 тыщ за 1-ый расчетный период составил 150 тыщ, и продолжил понижаться на 15 тыщ раз в год. В итоге NPV составило -190 тыщ рублей. Проект оказался провальным, хотя по подготовительным расчетам ЧПД было равно 716 тыщам.

Валютные потоки

При оценке движения валютных потоков предприниматели нередко не учитывают часть расходов. Но оттоки средств также важны, как и вложения. Точность валютного прогноза зависит от вкладывательного проекта. К примеру, если инвестор вкладывается в модернизацию производства уже имеющегося на рынке продукта.

До перевода средств оценивают воздействие роста количества продукции на спрос. Вероятна ситуация, что при перенасыщении рынка продукт будет продаваться плохо. Также предсказывают реакцию соперников на повышение оборота, издержки на рекламу, себестоимость продукции.

Ставка дисконтирования

Ставка дисконтирования указывает стоимость капитала для инвестора. Компания, предоставляющая валютные средства для реализации задачки, получает финансирование от банка, внутренних ресурсов либо собственных акций. Их стоимость будет разной. При кредитовании она равна процентам, установленным банком.

При вербовании внутренних ресурсов компании ставку согласуют с членами органа управления. Инвестор не сумеет установить этот показатель без роли основных акционеров компании. Совет директоров также может настоять на динамической ставке, т. е. она будет изменяться любой год.

Зависимость от ставки дисконтирования

На корректность вычислений влияет точность всех переменных формулы. Но на практике недозволено предсказать, какие вложения потребуются проекту на любом шаге. Потому все характеристики берутся приблизительно. Но ставка дисконтирования прямо влияет на прибыль от проекта. Чем она выше, тем меньше валютных средств получат все участники бизнеса.

Определение ставки дисконтирования r для вкладывательного проекта

Существует много способов расчета ставки дисконтирования. Почаще всего этот параметр обусловят по средневзвешенной цены капитала (WACC). Но также используются и остальные методы определения ставки:

  • исходя из премии на риск;
  • по дивидендам неизменного роста;
  • на базе экспертной оценки;
  • способ рыночных мультипликаторов;
  • модель М. Кархарта.

Измененная незапятнанная приведенная стоимость (Mnpv) рассчитывается, когда уровень реинвестиций и барьерная ставка очень различаются. В модифицированной формуле учитывается реинвестирование средств по иной ставке. Потому она считается наиболее четкой. Формула расчета NPV смотрится последующим образом:

формула2

  • CFt – приток валютных средств в обозначенном периоде.
  • It – отток валютных средств за период (абсолютная величина).
  • r – ставка дисконтирования.
  • d – процентная ставка от реинвестиции.
  • n – количество периодов.

Употреблять измененную формулу при расчете незапятнанного дисконтированного дохода необходимо, если проект реализуется в 3 и наиболее шагов, и, когда на любом шаге требуются доп вложения от инвестора. При всем этом уместно будет запросить от бизнесмена подготовительный RFM-анализ по частоте и новизне валютных средств.

Принятие решение по анализу расчетов

Если незапятнанный дисконтированный доход NPV выше 1, проект считается прибыльным для инвестирования. Когда значение ЧПС отрицательное, вкладывать средства недозволено. Если незапятнанная текущая стоимость равна нулю, то прибыли от проекта хватит для:

  • восполнения инвестированного капитала;
  • получения дохода на этот капитал.

Плюсы и минусы

Нередко задаваемы вопросцы

Мы подготовили ряд вопросцев, которые почаще всего задают начинающие инвесторы и предприниматели.

Советы

Принципиально изучить и создать правильную расшифровку всех характеристик эффективности перед вложением средств в какой-нибудь проект. Не считая расчета незапятнанного дисконтированного дохода NPV уместно применять для этого остальные способы оценки. К ним относится:

Ссылка на основную публикацию
Adblock
detector