Факториал в Excel
В данной статье я расскажу о факториале, его свойствах и о том, как вычислить его значение при помощи Excel. Мы проверим, как буквально вычисляет значение факториала формула Стирлинга и разберем решение типовых задач с факториалами, а на закуску — несколько видеороликов (и естественно расчетный файл эксель). Фортуны!
Что такое факториал?
Знак $n!$ именуется факториалом и обозначает произведение всех целых чисел от $1$ до $n$. Факториал определен лишь для целых неотрицательных чисел.
$$n!=1cdot 2cdot 3 cdot . cdot (n-1) cdot n$$
По определению, считают, что $0!=1, 1!=1$. Дальше:
$$ 2!=1 cdot 2 = 2, 3!=1 cdot 2 cdot 3= 6, 4!=1 cdot 2 cdot 3cdot 4= 24, 5!=1 cdot 2 cdot 3cdot 4cdot 5= 120, . $$
Факториал вырастает неописуемо стремительно (недаром он обозначается восклицательным знаком!), значительно резвее степенной $x^n$ либо даже экспоненциальной функции $e^n$ (но медленее чем $e^
Факториал обширно применяется в комбинаторике — он равен числу всех перестановок $n$-элементного огромного количества, также заходит в формулы для числа сочетаний и размещений. Факториал встречается в математическом анализе (почаще при разложениях функции в степенные ряды), также в многофункциональном анализе и теории чисел.
Формулы и характеристики факториала
Рекуррентная формула для факториала:
Факториал связан с гамма-функцией по формуле: $n!= Gamma(n+1)$. Практически, гамма-функция — обобщение понятия факториала на все положительные вещственные функции.
Для хоть какого натурального $n$ производится:
$$ (n!)^2 ge n^n ge n! ge n. $$
Любознательная формула связывает факториал и производную степенной функции:
Формула Стирлинга
Для приближенного вычисления факториала используют асимптотическую формулу Стирлинга:
Обычно для расчетов берут лишь основной член:
$$ n! approx sqrt <2pi n>left( frac
Ниже вы увидите пример расчета факториала по обыкновенной формуле и при помощи формулы Стирлинга, которая, как видно, дает полностью не плохое приближение (начиная с $n=9$ относительная погрешность уже меньше 1%).
Расчет факториала в Эксель
Для нахождения факториала в Excel необходимо применять специальную функцию =ФАКТР($n$) , где $n$ — число, факториал которого необходимо отыскать.
Пример расчета и ввода формулы ниже на снимке экрана, также вы сможете скачать расчетный файл
Примеры задач с факториалом
Разглядим решение типовых задач.
Пример 1. На полке стоят 8 дисков. Сколькими методами их можно расставить меж собой?
Решение. Требуется отыскать число всех перестановок 8 разных объектов, что рассчитывается как раз как факториал:
$$N=8!=1 cdot 2 cdot 3cdot 4cdot 5cdot 6cdot 7cdot 8=40320.$$
Пример 2. Вычислить
Пример 3. Упростить выражение
Пример 4. Упростить дробь, содержащую факториал:
Видео о факториале
Маленькое учебное видео про факториал — определение, характеристики, как стремительно вырастает, как вычислить в Excel по интегрированной формуле и по приближенной формуле Стирлинга.
